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本来说好今天讲幂平均不等式的，但由于上期讲了杨格不等式，并且留言中一位朋友说赫尔德不等式好像需要杨格不等式来证明，是的，他说得对，所以，上期讲了杨格不等式，这期讲赫尔德不等式就自然不过了。我想保持这种连续性。于是，很不好意思，幂平均不等式只能再次延迟了。应该在最近两三期内一定会讲幂平均不等式的。也许，延迟也不是坏事，因为我这些天大脑也没闲着，一直在思考着怎么把幂平均不等式讲到更好。对幂平均不等式，我之前讲过一次（这个链接：《 数学的形式美与不等式 》），但角度不同，您可以先去看一看了解一下。
好的，今天就来讲如何从杨格不等式推出赫尔德不等式。
杨格不等式：
若a>0，b>0；p>1，且
则下面不等式成立：
(1)式就是杨格不等式(Young Inequality)。我自己更愿意称其为年轻不等式，因为Young是年轻的意思。
（注意，我们上面没有提及q的取值范围，这是因为由上面的条件，q的取值范围是确定的，即q=p/(p-1)，显然，q>1。)
首先给出 赫尔德不等式如下：
赫尔德不等式：
若xi≥0，yi≥0（i=1, 2, 3, ··· , n）；p>1，且
则下面不等式成立：
(2)式就是赫尔德不等式 (Hölder Inequality)。 我自己更愿意称其为“Hold住不等式”或“Hou得住不等式”或“抓得住不等式”，因为Hold是抓住的意思。
下面来证明。设
再设杨格不等式中的a和b如下：
于是，把a和b代入杨格不等式
中，得到
上式中，下标 “i” 分别取 1, 2, 3, ···, n，将得到n个不等式，把它们 求和，得到
再把X和Y，即
代入(4)式，便得到赫尔德不等式：
说明：我们只讨论了p>1的情况。赫尔德不等式还有另一半，这里就不讨论了。
很多不等式之间存在着或深或浅或直接或间接的关系，有时我们不一定能够看得出。只有深入挖掘，它们之间隐藏的微妙关系才会显现。那么，提示一下您，上面这个(2)式，也就是赫尔德不等式，与柯西不等式有什么关系吗？好的，我们一起来看一看。我们在(2)式中取p=2，q=2，便得到：
(5)式和(6)式就是我们常用的柯西不等式(Cauchy Inequality)，全称柯西-布尼亚科夫斯基-许瓦尔兹不等式（ Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Inequality）。也就是说，柯西不等式是赫尔德不等式的特殊情况。
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原文标题：赫尔德不等式(赫尔德不等式)
